设 G G G H ⊆ G , H ≠ ∅ H \subseteq G,\ H \ne \varnothing H ⊆ G , H = ∅ H H H G G G H H H G G G H < G H<G H < G
例 1 ：两个数域 P 1 ⊆ P 2 \mathbb{P}_1 \subseteq \mathbb{P}_2 P 1 ⊆ P 2 { P 1 ; + } < { P 2 ; + } \{\mathbb{P}_1;+\} < \{\mathbb{P}_2;+\} { P 1 ; + } < { P 2 ; + }
例 2 ：{ R + ; × } < { R ∗ ; × } \{\mathbb{R}^+ ; \times\} < \{\mathbb{R}^* ; \times\} { R + ; × } < { R ∗ ; × }
例 3 ：记 V V V S ( V ) S(V) S ( V ) V V V G L ( V ) GL(V) G L ( V ) V V V S L ( V ) SL(V) S L ( V ) V V V S L ( V ) < G L ( V ) < S ( V ) SL(V)<GL(V)<S(V) S L ( V ) < G L ( V ) < S ( V )
全变换群 S ( V ) S(V) S ( V ) V V V V V V 双射 在映射复合运算下构成的群，满足可逆性 ，但不要求线性性质；
一般线性群 G L ( V ) GL(V) G L ( V ) V V V 可逆线性变换 在映射复合运算下构成的群，相比全变换群增加了线性约束 ；
特殊线性群 S L ( V ) SL(V) S L ( V ) V V V 行列式为 1 1 1 在映射复合运算下构成的群，几何上表示保持定向且体积不变 的线性变换。
对于子群，可以使用群的定义判定，但还有以下更简单的判定方式：
命题 1 设 G G G H H H G G G 非空子集 ，则下列条件等价：
H < G H<G H < G ∀ a , b ∈ H \forall a,b \in H ∀ a , b ∈ H a b ∈ H , a − 1 ∈ H ab \in H,\ a^{-1}\in H ab ∈ H , a − 1 ∈ H ∀ a , b ∈ H \forall a,b \in H ∀ a , b ∈ H a b − 1 ∈ H ab^{-1}\in H a b − 1 ∈ H
其中的运算、逆均按照 G G G
证明 1. ⇒ 2. 1. \Rightarrow 2. 1. ⇒ 2. 2. ⇒ 3. 2. \Rightarrow 3. 2. ⇒ 3. 3. ⇒ 1. 3. \Rightarrow 1. 3. ⇒ 1.
H ≠ ∅ , ∃ a ∈ H , a a − 1 = e ∈ H H \ne \varnothing,\ \exists a\in H,\ aa^{-1}=e \in H H = ∅ , ∃ a ∈ H , a a − 1 = e ∈ H ∀ a ∈ H , e a − 1 = a − 1 ∈ H \forall a \in H,\ ea^{-1}=a^{-1}\in H ∀ a ∈ H , e a − 1 = a − 1 ∈ H ∀ a , b ∈ H , b − 1 ∈ H , a ( b − 1 ) − 1 = a b ∈ H \forall a,b \in H,\ b^{-1}\in H,\ a(b^{-1})^{-1}=ab \in H ∀ a , b ∈ H , b − 1 ∈ H , a ( b − 1 ) − 1 = ab ∈ H
至此，群成立的条件之三——封闭性（二元运算），存在幺元，所有元素都存在逆元——均得到了证明。结合律则自然继承。
得证。
之后可通过 2. 3. 判定子群 。
命题 2 设 G G G H H H G G G 非空有限 子集 ，则：
H < G H < G H < G ⇔ \Leftrightarrow ⇔ H H H
证明 LHS ⇒ RHS \text{LHS} \Rightarrow \text{RHS} LHS ⇒ RHS LHS ⇐ RHS \text{LHS} \Leftarrow \text{RHS} LHS ⇐ RHS
H H H H H H H ⊆ G H \subseteq G H ⊆ G H H H
命题 3 设 H 1 < G , H 2 < G H_1 < G,\ H_2 < G H 1 < G , H 2 < G H 1 ∩ H 2 < G H_1 \cap H_2 < G H 1 ∩ H 2 < G
证明：
∀ a , b ∈ H 1 ∩ H 2 , a b − 1 ∈ H 1 , a b − 1 ∈ H 2 \forall a,b \in H_1 \cap H_2,\ ab^{-1}\in H_1,\ ab^{-1}\in H_2 ∀ a , b ∈ H 1 ∩ H 2 , a b − 1 ∈ H 1 , a b − 1 ∈ H 2 a b − 1 ∈ H 1 ∩ H 2 ab^{-1}\in H_1 \cap H_2 a b − 1 ∈ H 1 ∩ H 2
设 H 1 < G , H 2 < G H_1 < G,\ H_2 < G H 1 < G , H 2 < G H 1 ∪ H 2 < G H_1 \cup H_2 < G H 1 ∪ H 2 < G
实际上，H 1 ∪ H 2 < G ⟺ H 1 ⊆ H 2 or H 2 ⊆ H 1 H_1 \cup H_2 < G \Longleftrightarrow H_1 \subseteq H_2 \text{ or } H_2 \subseteq H_1 H 1 ∪ H 2 < G ⟺ H 1 ⊆ H 2 or H 2 ⊆ H 1
LHS ⇐ RHS \text{LHS} \Leftarrow \text{RHS} LHS ⇐ RHS LHS ⇒ RHS \text{LHS} \Rightarrow \text{RHS} LHS ⇒ RHS
反证法，假设 H 1 ⊈ H 2 and H 2 ⊈ H 1 H_1 \nsubseteq H_2 \text{ and } H_2 \nsubseteq H_1 H 1 ⊈ H 2 and H 2 ⊈ H 1 ∃ a ∈ H 1 , a ∉ H 2 , ∃ b ∈ H 2 , b ∉ H 1 \exists a \in H_1,\ a\notin H_2,\ \exists b \in H_2, b\notin H_1 ∃ a ∈ H 1 , a ∈ / H 2 , ∃ b ∈ H 2 , b ∈ / H 1 H 1 ∪ H 2 < G H_1 \cup H_2 < G H 1 ∪ H 2 < G a b ∈ H 1 ab \in H_1 ab ∈ H 1 a b ∈ H 2 ab \in H_2 ab ∈ H 2 b ∈ H 1 b \in H_1 b ∈ H 1 a ∈ H 2 a \in H_2 a ∈ H 2
商定义在等价的概念上，等价是一种二元关系。为了在群之间引入一种等价关系，首先介绍陪集的概念。
设 G G G H < G H < G H < G a ∈ G a \in G a ∈ G
a H = { a h ∣ h ∈ H } , ( H a = { h a ∣ h ∈ H } , ) aH = \{ah \mid h \in H\}, \quad \Big(Ha = \{ha \mid h \in H\},\Big) a H = { ah ∣ h ∈ H } , ( H a = { ha ∣ h ∈ H } , )
称为 a a a H H H
定理 设 G G G H < G H < G H < G a R b ⇔ a − 1 b ∈ H a \mathrm{R} b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H a R b ⇔ a − 1 b ∈ H a a a a ‾ = a H \overline{a}=aH a = a H
故 H H H G G G G / H = { a H } G/H = \{aH\} G / H = { a H } G / R G/\mathrm{R} G / R R \mathrm{R} R G / H G/H G / H G G G H H H 左商集 ，或左陪集空间 。
下面证明这个定理。
证明 R \mathrm{R} R
∀ a ∈ G , a − 1 a = e ∈ H \forall a \in G,\ a^{-1}a = e \in H ∀ a ∈ G , a − 1 a = e ∈ H a R a a\mathrm{R}a a R a R \mathrm{R} R ∀ a , b ∈ G \forall a,b\in G ∀ a , b ∈ G a R b a \mathrm{R} b a R b a − 1 b ∈ H a^{-1}b \in H a − 1 b ∈ H H H H ( a − 1 b ) − 1 = b − 1 a ∈ H (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a \in H ( a − 1 b ) − 1 = b − 1 a ∈ H b R a b\mathrm{R}a b R a R \mathrm{R} R ∀ a , b , c ∈ G \forall a,b,c \in G ∀ a , b , c ∈ G a R b , b R c a\mathrm{R}b,\ b\mathrm{R}c a R b , b R c a − 1 b ∈ H , b − 1 c ∈ H a^{-1}b \in H,\ b^{-1}c \in H a − 1 b ∈ H , b − 1 c ∈ H H H H ( a − 1 b ) ( b − 1 c ) = a − 1 c ∈ H (a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c \in H ( a − 1 b ) ( b − 1 c ) = a − 1 c ∈ H a R c a\mathrm{R}c a R c R \mathrm{R} R
这就证明了 R \mathrm{R} R
证明 a ‾ = a H \overline{a}=aH a = a H a a a R \mathrm{R} R a H aH a H
只需证明 a ‾ ⊆ a H \overline{a} \subseteq aH a ⊆ a H a H ⊆ a ‾ aH \subseteq \overline{a} a H ⊆ a
∀ b such that a R b \forall b \text{ such that } a\mathrm{R}b ∀ b such that a R b a − 1 b ∈ H a^{-1}b \in H a − 1 b ∈ H a ( a − 1 b ) ∈ a H a(a^{-1}b) \in aH a ( a − 1 b ) ∈ a H b ∈ a H b \in aH b ∈ a H a ‾ ⊆ a H \overline{a} \subseteq aH a ⊆ a H ∀ a h ∈ a H , a − 1 a h = h ∈ H \forall ah \in aH,\ a^{-1}ah=h\in H ∀ ah ∈ a H , a − 1 ah = h ∈ H a R a h a \mathrm{R} ah a R ah a H ⊆ a ‾ aH \subseteq \overline{a} a H ⊆ a
得证。
实际上，可以引入一个除数 h 0 h_0 h 0 H H H h 0 h_0 h 0 a a a G G G a a a
G G G
a h ah ah h 0 h_0 h 0 h h h a a a
a H aH a H h 0 h_0 h 0 a a a
a − 1 b a^{-1}b a − 1 b b b b a a a a − 1 b ∈ H a^{-1}b \in H a − 1 b ∈ H a , b a,b a , b h 0 h_0 h 0
实际上，剩余系就是整数加群 Z \mathbb{Z} Z h 0 Z h_0\mathbb{Z} h 0 Z
不难看出，左商集中不同的左陪集是互不相交的。
推论 对于 a , b ∈ G , a H = b H ⟺ a − 1 b ∈ H a,b \in G,\ aH=bH \Longleftrightarrow a^{-1}b \in H a , b ∈ G , a H = b H ⟺ a − 1 b ∈ H
定义 设 G G G H < G H < G H < G ∣ G / H ∣ \lvert G / H \rvert ∣ G / H ∣ H H H G G G 指数 ，记作 [ G : H ] [G \mathbin{:} H] [ G : H ]
例 4 ：[ Z : m Z ] = m , m ∈ Z + [\mathbb{Z} \mathbin{:} m\mathbb{Z}]=m,\ m\in\mathbb{Z}^+ [ Z : m Z ] = m , m ∈ Z + Z \mathbb{Z} Z
因为 ∀ a ∈ Z , a + m Z = { a + m n ∣ n ∈ Z } \forall a \in \mathbb{Z},\ a+m \mathbb{Z} = \{a+mn \mid n \in \mathbb{Z}\} ∀ a ∈ Z , a + m Z = { a + mn ∣ n ∈ Z } 0 ‾ , 1 ‾ , … , m − 1 ‾ \overline{0},\ \overline{1}, \dots,\ \overline{m-1} 0 , 1 , … , m − 1 m Z m\mathbb{Z} m Z
Lagrange 定理 设 G G G H < G H<G H < G ∣ G ∣ = [ G : H ] × ∣ H ∣ \lvert G \rvert = [G \mathbin{:} H] \times \lvert H \rvert ∣ G ∣ = [ G : H ] × ∣ H ∣
该定理本质上是在说，左商集中的每一个左陪集大小都是相同的，即 ∀ a ∈ G , ∣ a H ∣ = ∣ H ∣ \forall a \in G,\ \lvert aH \rvert = \lvert H \rvert ∀ a ∈ G , ∣ a H ∣ = ∣ H ∣
只需证明从 H H H a H aH a H h ↦ a h h \mapsto ah h ↦ ah a h 1 ≠ a h 2 ⟺ h 1 ≠ h 2 ah_1 \ne ah_2 \Longleftrightarrow h_1 \ne h_2 a h 1 = a h 2 ⟺ h 1 = h 2
推论 设 G G G K < G , H < K K<G,\ H<K K < G , H < K [ G : H ] = [ G : K ] × [ K : H ] [G \mathbin{:} H] = [G \mathbin{:} K] \times [K \mathbin{:} H] [ G : H ] = [ G : K ] × [ K : H ]
从商集到商群#
G G G 的运算
⟶ \longrightarrow ⟶ G / H G/H G / H 的运算
获得了商集之后，还需要定义一个代数运算才能形成商群。这个运算是从原群的运算诱导出来的。
但这种诱导是有条件的 。
条件：关系 a R b ⟺ a − 1 b ∈ H a \mathrm{R} b \Longleftrightarrow a^{-1}b \in H a R b ⟺ a − 1 b ∈ H 同余关系 ，即满足 a 1 R a 2 , b 1 R b 2 ⟹ a 1 b 1 R a 2 b 2 a_1 \mathrm{R} a_2,\ b_1 \mathrm{R} b_2 \Longrightarrow a_1b_1 \mathrm{R} a_2b_2 a 1 R a 2 , b 1 R b 2 ⟹ a 1 b 1 R a 2 b 2
等价关系只限制了什么元素被视为一类，同余关系则限制了：同一类的元素参与运算之后仍然属于同一类。
换句话说，同余关系限制了等价关系与运算是“相容的”。
一个是等价关系但不是同余关系的例子：
a R b ⟺ a = b or a , b ∈ { 0 , 1 } a \mathrm{R} b \qquad \Longleftrightarrow \qquad a=b \quad \text{or} \quad a,b \in \{0,1\} a R b ⟺ a = b or a , b ∈ { 0 , 1 } 它是等价关系，但是和加法不相容：0 R 1 , 2 R 2 0 \mathrm{R} 1,\ 2 \mathrm{R} 2 0 R 1 , 2 R 2 ( 0 + 2 ) R ( 1 + 2 ) (0+2) \cancel{\mathrm{R}} (1+2) ( 0 + 2 ) R ( 1 + 2 )
但一旦要求了同余关系，那么同一类的元素进行运算后就还属于同一类，因此运算可以从“元素之间”延伸到“类之间”。
将同余关系的条件写成 a 1 − 1 a 2 ∈ H , b 1 − 1 b 2 ∈ H ⟹ b 1 − 1 a 1 − 1 a 2 b 2 ∈ H a_1^{-1}a_2 \in H,\ b_1^{-1}b_2 \in H \Longrightarrow b_1^{-1}a_1^{-1}a_2b_2 \in H a 1 − 1 a 2 ∈ H , b 1 − 1 b 2 ∈ H ⟹ b 1 − 1 a 1 − 1 a 2 b 2 ∈ H H H H
不妨记 a 1 − 1 a 2 = h , b 1 − 1 b 2 = h ′ a_1^{-1}a_2 = h,\ b_1^{-1}b_2 = h' a 1 − 1 a 2 = h , b 1 − 1 b 2 = h ′ b 1 − 1 h b 2 = b 1 − 1 h b 1 h ′ ∈ H b_1^{-1}h b_2 = b_1^{-1} h b_1 h' \in H b 1 − 1 h b 2 = b 1 − 1 h b 1 h ′ ∈ H b 1 − 1 h b 1 h ′ ∈ H ⇔ h ′ ∈ H b 1 − 1 h b 1 ∈ H b_1^{-1} h b_1 h' \in H \xLeftrightarrow{h' \in H} b_1^{-1} h b_1 \in H b 1 − 1 h b 1 h ′ ∈ H h ′ ∈ H b 1 − 1 h b 1 ∈ H
再记 b 1 − 1 = g b_1^{-1}=g b 1 − 1 = g h h h H H H a 1 = e , a 2 = h a_1=e,\ a_2=h a 1 = e , a 2 = h g g g G G G b 1 = b 2 b_1=b_2 b 1 = b 2
∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H \forall g \in G,\ \forall h \in H,\ ghg^{-1} \in H ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H 这就是正规性条件 。
通过谓词逻辑严谨化推理（同余关系
⟺ \Longleftrightarrow ⟺ 正规性条件）
个体域为 G G G P ( x ) P(x) P ( x ) x ∈ H x \in H x ∈ H
同余关系条件：
∀ a 1 ∀ a 2 ∀ b 1 ∀ b 2 ( P ( a 1 − 1 a 2 ) ∧ P ( b 1 − 1 b 2 ) → P ( b 1 − 1 a 1 − 1 a 2 b 2 ) ) \forall a_1 \forall a_2 \forall b_1 \forall b_2 (P(a_1^{-1}a_2) \land P(b_1^{-1}b_2) \to P(b_1^{-1}a_1^{-1}a_2b_2)) ∀ a 1 ∀ a 2 ∀ b 1 ∀ b 2 ( P ( a 1 − 1 a 2 ) ∧ P ( b 1 − 1 b 2 ) → P ( b 1 − 1 a 1 − 1 a 2 b 2 )) 令 h = a 1 − 1 a 2 , h ′ = b 1 − 1 b 2 h=a_1^{-1}a_2,\ h'=b_1^{-1}b_2 h = a 1 − 1 a 2 , h ′ = b 1 − 1 b 2
∀ a 1 , a 2 ∈ G , a 1 − 1 a 2 ∈ H ⟺ ∀ a 1 ∈ G , h ∈ H , a 2 = a 1 h \forall a_1, a_2 \in G,\ a_1^{-1}a_2 \in H \Longleftrightarrow \forall a_1 \in G,\ h \in H,\ a_2=a_1h ∀ a 1 , a 2 ∈ G , a 1 − 1 a 2 ∈ H ⟺ ∀ a 1 ∈ G , h ∈ H , a 2 = a 1 h 于是同余关系条件可以重参数化为 a 1 , b 1 , h , h ′ a_1,b_1,h,h' a 1 , b 1 , h , h ′
∀ a 1 ∀ b 1 ∀ h ∀ h ′ ( P ( h ) ∧ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 h ′ ) ) \forall a_1 \forall b_1 \forall h \forall h' (P(h) \land P(h') \to P(b_1^{-1}hb_1h')) ∀ a 1 ∀ b 1 ∀ h ∀ h ′ ( P ( h ) ∧ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 h ′ )) 可消去量词 ∀ a 1 \forall a_1 ∀ a 1 h ′ ∈ H h' \in H h ′ ∈ H P ( b 1 − 1 h b 1 h ′ ) ⇔ P ( b 1 − 1 h b 1 ) P(b_1^{-1}hb_1h') \Leftrightarrow P(b_1^{-1}hb_1) P ( b 1 − 1 h b 1 h ′ ) ⇔ P ( b 1 − 1 h b 1 ) h ′ h' h ′
∀ b 1 ∀ h ∀ h ′ ( P ( h ) ∧ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 ) ) \forall b_1 \forall h \forall h' (P(h) \land P(h') \to P(b_1^{-1}hb_1)) ∀ b 1 ∀ h ∀ h ′ ( P ( h ) ∧ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 )) 现在用谓词逻辑等值式消去量词 ∀ h ′ \forall h' ∀ h ′
∀ b 1 ∀ h ∀ h ′ ( P ( h ) ∧ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 ) ) ⇔ ∀ b 1 ∀ h ( P ( h ) ∧ ∃ h ′ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 ) ) ⇔ ∀ b 1 ∀ h ( P ( h ) → P ( b 1 − 1 h b 1 ) ) \begin{align*}
&\forall b_1 \forall h \forall h' (P(h) \land P(h') \to P(b_1^{-1}hb_1))\\
\Leftrightarrow\ & \forall b_1 \forall h (P(h) \land \exists h' P(h') \to P(b_1^{-1}hb_1))\\
\Leftrightarrow\ & \forall b_1 \forall h (P(h) \to P(b_1^{-1}hb_1))\\
\end{align*} ⇔ ⇔ ∀ b 1 ∀ h ∀ h ′ ( P ( h ) ∧ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 )) ∀ b 1 ∀ h ( P ( h ) ∧ ∃ h ′ P ( h ′ ) → P ( b 1 − 1 h b 1 )) ∀ b 1 ∀ h ( P ( h ) → P ( b 1 − 1 h b 1 )) 换名 b 1 − 1 = g b_1^{-1}=g b 1 − 1 = g
∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H \forall g \in G,\ \forall h \in H,\ ghg^{-1} \in H ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H 定义 设 G G G H < G H<G H < G ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H \forall g \in G,\ \forall h \in H,\ ghg^{-1} \in H ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H H H H G G G 正规子群 ，记作 H ⊲ G H \mathrel{\vartriangleleft} G H ⊲ G
例 5 ：平凡子群（如 G , { e } < G G, \{e\} < G G , { e } < G
例 6 ：Abel 群（交换群）的任何子群都是正规子群。
例 7 ：S L ( V ) ⊲ G L ( V ) SL(V) \mathrel{\vartriangleleft} GL(V) S L ( V ) ⊲ G L ( V )
再继续之前，引入一个记号：A , B A,B A , B A ⋅ B A \cdot B A ⋅ B { x y ∣ x ∈ A , y ∈ B } \{xy \mid x \in A, y \in B\} { x y ∣ x ∈ A , y ∈ B } ⋅ \cdot ⋅
定理 设 H < G H<G H < G
H ⊲ G H \mathrel{\vartriangleleft} G H ⊲ G ∀ g ∈ G , g H = H g \forall g \in G,\ gH = Hg ∀ g ∈ G , g H = H g ∀ g 1 , g 2 ∈ G , g 1 H ⋅ g 2 H = g 1 g 2 H \forall g_1, g_2 \in G,\ g_1H \cdot g_2H = g_1 g_2 H ∀ g 1 , g 2 ∈ G , g 1 H ⋅ g 2 H = g 1 g 2 H g 1 H ⋅ g 2 H = { g 1 h 1 g 2 h 2 ∣ h 1 , h 2 ∈ H } g_1H \cdot g_2H = \{g_1h_1 g_2h_2 \mid h_1, h_2 \in H\} g 1 H ⋅ g 2 H = { g 1 h 1 g 2 h 2 ∣ h 1 , h 2 ∈ H }
证明 1 ⟹ 2 1 \Longrightarrow 2 1 ⟹ 2
由于 ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H \forall g \in G,\ \forall h \in H,\ ghg^{-1} \in H ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H h ′ = g h g − 1 h' = ghg^{-1} h ′ = g h g − 1 h ′ g = g h ∈ H g h'g = gh \in Hg h ′ g = g h ∈ H g g h ∈ g H gh \in gH g h ∈ g H g H ⊆ H g gH \subseteq Hg g H ⊆ H g g g g g − 1 g^{-1} g − 1 H g ⊆ g H Hg \subseteq gH H g ⊆ g H
故 g H = H g gH = Hg g H = H g
证明 2 ⟹ 3 2 \Longrightarrow 3 2 ⟹ 3
\begin{flalign*}
\forall g_1,g_2 \in G,\quad &&\\
&\begin{aligned}
&g_1 H \cdot g_2 H \\
=\ & \{g_1h_1g_2h_2 \mid h_1,h_2 \in H\}\\
=\ & \{g_1g_2h_1'h_2 \mid h_1',h_2 \in H\} && \Leftarrow h_1g_2 \in Hg_2 = g_2H\\
\subseteq\ &g_1g_2H
\end{aligned}&
\end{flalign*}
反过来，
\begin{flalign*}
\forall g_1,g_2 \in G,\quad &&\\
&\begin{aligned}
&g_1 g_2 H \\
=\ & \{g_1g_2h \mid h \in H\}\\
=\ & \{g_1eg_2h \mid h \in H\}\\
\subseteq\ &g_1H \cdot g_2H
\end{aligned}&
\end{flalign*}
得证。
证明 3 ⟹ 1 3 \Longrightarrow 1 3 ⟹ 1
笨拙方法
由条件知，∀ g 1 , g 2 ∈ G , ∀ h 1 , h 2 ∈ H , ∃ h 3 ∈ H , g 1 h 1 g 2 h 2 = g 1 g 2 h 3 \forall g_1,g_2 \in G,\ \forall h_1,h_2 \in H,\ \exists~h_3 \in H,\ g_1h_1g_2h_2 = g_1g_2h_3 ∀ g 1 , g 2 ∈ G , ∀ h 1 , h 2 ∈ H , ∃ h 3 ∈ H , g 1 h 1 g 2 h 2 = g 1 g 2 h 3 g 1 − 1 g_1^{-1} g 1 − 1 h 1 g 2 h 2 = g 2 h 3 h_1g_2h_2 = g_2h_3 h 1 g 2 h 2 = g 2 h 3 h 2 − 1 h_2^{-1} h 2 − 1 h 3 h 2 − 1 h_3h_2^{-1} h 3 h 2 − 1 h 4 h_4 h 4 h 1 g 2 = g 2 h 4 h_1g_2 = g_2 h_4 h 1 g 2 = g 2 h 4 g 2 − 1 g_2^{-1} g 2 − 1 g 2 − 1 h 1 g 2 = h 4 ∈ H g_2^{-1}h_1g_2 = h_4 \in H g 2 − 1 h 1 g 2 = h 4 ∈ H g = g 2 − 1 , h = h 1 g=g_2^{-1},\ h=h_1 g = g 2 − 1 , h = h 1 ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H \forall g \in G,\ \forall h \in H,\ ghg^{-1} \in H ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 ∈ H
∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 = g h g − 1 e ∈ g H g − 1 H = g g − 1 H = e H = H \forall g \in G,\ \forall h \in H,\ ghg^{-1} = ghg^{-1}e \in gHg^{-1}H = gg^{-1}H = eH = H ∀ g ∈ G , ∀ h ∈ H , g h g − 1 = g h g − 1 e ∈ g H g − 1 H = g g − 1 H = eH = H
正规性可以理解为“软交换性”，即集合元素本身对运算不交换，但是等价类对运算的交换的，即使用 ∀ g ∈ G \forall g \in G ∀ g ∈ G g H gH g H H g Hg H g h ∈ H h \in H h ∈ H g h gh g h h g hg h g
要求这种软交换性，是因为它允许 ( a H ) ( b H ) = a ( H b ) H = a ( b H ) H = ( a b ) H H = ( a b ) H (aH)(bH)=a(Hb)H=a(bH)H=(ab)HH=(ab)H ( a H ) ( b H ) = a ( H b ) H = a ( b H ) H = ( ab ) HH = ( ab ) H 将群上的运算迁移到商集上 ，形成商群。
定理 设 G G G H < G H<G H < G H ⊲ G H \mathrel{\vartriangleleft} G H ⊲ G ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ R R R G G G R \mathrm{R} R a R b ⇔ a − 1 b ∈ H a\mathrm{R}b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H a R b ⇔ a − 1 b ∈ H
也即，当且仅当 H ⊲ G H \mathrel{\vartriangleleft} G H ⊲ G G / H G/H G / H G / H G/H G / H G G G H H H G / H G/H G / H
证明
LHS ⟹ RHS \text{LHS} \Longrightarrow \text{RHS} LHS ⟹ RHS
对任何 a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ G a_1,a_2,b_1,b_2 \in G a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ∈ G a 1 R a 2 , b 1 R b 2 a_1 \mathrm{R} a_2,\ b_1 \mathrm{R} b_2 a 1 R a 2 , b 1 R b 2 a 1 − 1 a 2 ∈ H , b 1 − 1 b 2 ∈ H a_1^{-1}a_2 \in H,\ b_1^{-1}b_2 \in H a 1 − 1 a 2 ∈ H , b 1 − 1 b 2 ∈ H
( a 1 b 1 ) − 1 ( a 2 b 2 ) = b 1 − 1 a 1 − 1 a 2 b 2 = b 1 − 1 ( a 1 − 1 a 2 ) b 1 ( b 1 − 1 b 2 ) (a_1b_1)^{-1}(a_2b_2)=b_1^{-1}a_1^{-1}a_2b_2=b_1^{-1}(a_1^{-1}a_2)b_1(b_1^{-1}b_2) ( a 1 b 1 ) − 1 ( a 2 b 2 ) = b 1 − 1 a 1 − 1 a 2 b 2 = b 1 − 1 ( a 1 − 1 a 2 ) b 1 ( b 1 − 1 b 2 ) 而由于 H ⊲ G H \mathrel{\vartriangleleft} G H ⊲ G b 1 − 1 ( a 1 − 1 a 2 ) b 1 ∈ H b_1^{-1}(a_1^{-1}a_2)b_1 \in H b 1 − 1 ( a 1 − 1 a 2 ) b 1 ∈ H ( a 1 b 1 ) − 1 ( a 2 b 2 ) ∈ H (a_1b_1)^{-1}(a_2b_2) \in H ( a 1 b 1 ) − 1 ( a 2 b 2 ) ∈ H a 1 b 1 R a 2 b 2 a_1b_1 \mathrm{R} a_2b_2 a 1 b 1 R a 2 b 2
LHS ⟸ RHS \text{LHS} \Longleftarrow \text{RHS} LHS ⟸ RHS
实际上已经在上面证明过了，此处补充一种更加简洁的方法。
∀ g ∈ G , h ∈ H , g − 1 ( g h ) = h ∈ H \forall g \in G,\ h \in H,\ g^{-1}(gh)=h \in H ∀ g ∈ G , h ∈ H , g − 1 ( g h ) = h ∈ H g h R g gh \mathrm{R} g g h R g g − 1 R g − 1 g^{-1} \mathrm{R} g^{-1} g − 1 R g − 1 g h g − 1 R e ghg^{-1} \mathrm{R} e g h g − 1 R e e − 1 g h g − 1 = g h g − 1 ∈ H e^{-1}ghg^{-1}=ghg^{-1} \in H e − 1 g h g − 1 = g h g − 1 ∈ H
这种方法和上面的方法本质相同，只是提前以 ∀ g ∈ G , h ∈ H \forall g \in G,\ h \in H ∀ g ∈ G , h ∈ H
诱导的运算
g 1 H ⋅ g 2 H = g 1 g 2 H g_1H \cdot g_2H = g_1g_2H g 1 H ⋅ g 2 H = g 1 g 2 H
封闭性：根据同余关系 ，诱导出的运算是封闭的 。
结合律：( g 1 H ⋅ g 2 H ) ⋅ g 3 H = g 1 g 2 H ⋅ g 3 H = g 1 g 2 g 3 H = g 1 H ⋅ g 2 g 3 H = g 1 H ⋅ ( g 2 H ⋅ g 3 H ) (g_1H \cdot g_2H)\cdot g_3H = g_1g_2H\cdot g_3H = g_1g_2g_3H = g_1H \cdot g_2g_3H = g_1H \cdot(g_2H \cdot g_3H) ( g 1 H ⋅ g 2 H ) ⋅ g 3 H = g 1 g 2 H ⋅ g 3 H = g 1 g 2 g 3 H = g 1 H ⋅ g 2 g 3 H = g 1 H ⋅ ( g 2 H ⋅ g 3 H )
左幺元：H ⋅ g H = g H H \cdot gH = gH H ⋅ g H = g H
左逆元：g − 1 H ⋅ g H = H g^{-1}H \cdot gH = H g − 1 H ⋅ g H = H
由群的单边定义 知，G / H G/H G / H
例 8 ：G G G G / { e } = { g { e } ∣ g ∈ G } = { { g } ∣ g ∈ G } G/\{e\}=\{g\{e\} \mid g \in G\} = \{\{g\} \mid g \in G\} G / { e } = { g { e } ∣ g ∈ G } = {{ g } ∣ g ∈ G } G / G = { g G ∣ g ∈ G } = { G } G/G = \{gG \mid g \in G\}=\{G\} G / G = { g G ∣ g ∈ G } = { G } ∣ G / G ∣ = 1 \lvert G/G \rvert = 1 ∣ G / G ∣ = 1
例 9 ：{ Z ; + } \{\mathbb{Z}; +\} { Z ; + } m ∈ N + m \in \mathbb{N}^+ m ∈ N + Z / m Z \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} Z / m Z m m m Z m \mathbb{Z}_m Z m
例 10 ：
在平面 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 W = { ( x , 0 ) ∣ x ∈ R } W = \{(x,0) \mid x \in \mathbb{R}\} W = {( x , 0 ) ∣ x ∈ R } x x x R 2 / W \mathbb{R}^2 / W R 2 / W { ( 0 , y ) + W ∣ y ∈ R } \{(0,y)+W \mid y \in \mathbb{R}\} {( 0 , y ) + W ∣ y ∈ R }
直观地理解，模 x x x x x x
这些直线的区别仅在于纵坐标 y y y y y y R \mathbb{R} R
而对于整数加群来说，m Z m \mathbb{Z} m Z m m m m m m m m m
