半群与群

代数体系就是集合与运算，只不过在其上附加了各种特殊性质。

群 = 1 个非空集合 + 1 种二元运算 + 性质

半群（Semigroup）#

设 $S$ 为一非空集合，其上有二元运算 $\circ$，满足结合律，则称 $\{~S; \circ~\}$（有时也省略 $\circ$，简写为 $S$）为一个半群。

例：$\{~\mathbb{N}^+; +~\}$ 是半群。

幺元（单位元）#

设 $\{~S; \circ~\}$ 为半群，若 $e_l \in S$ 满足 $\forall a \in S,\ e_l \circ a = a$，则称 $e_l$ 为 $S$ 的左幺元；类似地可以定义右幺元 $e_r$。

如果 $e$ 同时是 $S$ 的左幺元和右幺元，则称 $e$ 为幺元（又称单位元）。

存在幺元的半群称为幺半群。

定理：幺半群的幺元是唯一的。这是因为，假如存在 $e,e'$ 都是幺元，那么 $e=e\circ e'=e'$.

例：$\{~\mathbb{N}^+; \times~\}$ 是幺半群。

群（Group）#

定义#

设 $\{~G; \circ~\}$ 是一个幺半群，幺元为 $e$，如果对于 $a \in G$，$\exists~a'\in G,\ a' \circ a = e$，就称 $a'$ 是 $a$ 的左逆；类似地可以定义右逆；如果 $\exists~b \in G$，$b$ 同时是 $a$ 的左逆和右逆，就称 $b$ 是 $a$ 的逆元。

定理：任何元素如果存在逆元，那么逆元是唯一的。这是因为，如果 $a$ 有逆元 $b,c$，那么 $b=b\circ e=b\circ (a\circ c)=(b \circ a) \circ c=e\circ c=c$.

因此今后可以用 $a^{-1}$ 代表 $a$ 的逆元。

如果 $\forall a \in G,\ \exists~a^{-1}\in G$，则称 $\{~G; \circ~\}$ 是一个群。换句话说，如果一个幺半群的每个元素都可逆，就称其为群。

群的定义可以总结为以下四点：

1. 在集合 $G \ne \varnothing$ 上定义了二元运算 $\circ$. （由二元运算定义可知，$G$ 对 $\circ$ 封闭。）
2. $\circ$ 满足结合律，$(a\circ b) \circ c = a\circ (b \circ c)$.
3. $G$ 中存在幺元 $e$，使得 $\forall a\in G,\ a\circ e = e\circ a = a$.
4. $G$ 中任何元素都有逆元，$\forall a\in G$，$\exists~a^{-1} \in G,\ a\circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$.

群的定义还可以等价地总结为以下四点，这四点被称为群的单边定义（即只定义左边）：

1. 与上述 1. 相同
2. 与上述 2. 相同
3. 将上述 3. 中的“幺元 $e$”替换为“左幺元 $e_l$”.
4. 将上述 4. 改写成 $G$ 中任何元素都有“左逆元”，$\forall a \in G$，$\exists~a' \in G,\ a' \circ a = e_l$.

当然，也可以全部换成“右边”的定义。

从群的定义推出群的单边定义是平凡的。要证明二者的等价性，只需要反向推出即可。

实际上，$\forall a\in G$，$\exists~a' \in G,\ a' \circ a = e_l$，从而 $\exists~ a'' \in G,\ a'' \circ a' = e_l$.

因此 $a \circ a' = (e_l \circ a) \circ a' = a'' \circ a' \circ a \circ a' = a'' \circ (e_l \circ a') = a'' \circ a' = e_l$.

同时 $a \circ e_l = a \circ (a' \circ a) = e_l \circ a = a$.

这就证明了，$e_l$ 是 $S$ 的右幺元，而 $a'$ 是 $a$ 的右逆元 $\square$

性质#

为了简化记号，将 $\circ$ 略去不写。

• 群满足左消去律：$\forall a,b,c \in G$，有 $ab=ac \Rightarrow b=c$. 证明使用左逆元；
• 群满足右消去律，形式类似；
• 群中的所有元素都有唯一的左逆元和右逆元，且就是其逆元；
• 对于 $\forall a,b \in G$，方程 $xa=b,\ x\in G$ 的解存在且唯一。证明存在性只需令 $x=ba^{-1}$；证明唯一性只需假设 $x_1 a=b,\ x_2 a=b$，由右消去律知 $x_1=x_2$；
• 对于 $\forall a,b \in G$，方程 $ax=b,\ x\in G$ 的解存在且唯一；

群的另一个定义#

如果一个半群 $G$ 满足 $\forall a,b \in G$，方程 $ax=b, x\in G$ 和 $xa=b, x\in G$ 均有解，则 $G$ 为群。

证明：
设 $xa=a$ 的解为 $e_a \in G$，以及对 $\forall b \in G$，设 $\ ax=b$ 的解为 $c$，则 $e_a b=e_a a c=ac=b$，因此 $e_a$ 为 $G$ 的左幺元，记作 $e_l$；
同时，对 $\forall a\in G, a^{-1}a=e_l$ 有解 $a^{-1} \in G$，因此 $G$ 中任何元素都有“左逆元”；
因此符合群的单边定义，证毕。

群的消去律定义#

有限半群 $G$ 如果满足左右消去律，则 $G$ 为群。

证明：
由于 $\lvert G \rvert < \infty$，可设 $G=\{a_1,a_2,\dots, a_n\}$.
对于 $\forall a_i \in G$，考虑元素 $a_ia_1, a_ia_2, \dots, a_ia_n$，由消去律可知它们两两不同，因为 $a_ia_p = a_i a_q \Rightarrow a_p=a_q$；
而这就意味着 $\forall a_j \in G,\ \exists~a_k \in G,\ a_ia_k = a_j$，也即 $a_i x = a_j$ 必有解.
这个证明运用了关键的集合论定理：对于有限集合 $A,B$，$(A \subseteq B) \land (\lvert A \rvert = \lvert B \rvert) \Rightarrow A = B$.

同理可证 $xa_i = a_j$ 也必有解.

从而由刚刚的“群的另一个定义”，半群 $G$ 是群。

记号#

设 $G$ 为群，可以定义：

• 幂次 $a^n,\ n\in \mathbb{Z}$：$\forall a \in G$，

$$a^n = \begin{cases} \overbrace{a \circ a \cdots a}^{n}, & n>0, \\ e, & n=0, \\ \underbrace{a^{-1} \circ a^{-1} \cdots a^{-1}}_{n}, & n<0. \end{cases}$$ $$a^{m+n} = a^m a^n,\ (a^m)^n = a^{mn}$$

• 通常将以 $\cdot$ 作为运算符号的群理解为乘法群；
• 通常将元素之间省略了运算符号的群理解为乘法群；
• 通常将以 $+$ 作为运算符号的群理解为交换群；

设 $G$ 为交换群，可以定义：

• $a\in G$ 的逆元写作 $-a$ 而非 $a^{-1}$；
• $G$ 的幺元 $e$ 写作 $0$，称为“零元”；
• 数乘 $na,\ n \in \mathbb{Z}$：可以类比幂次来定义；

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阶#

群的阶#

设 $G$ 为群，其阶定义为群里面的元素个数，记作 $\lvert G \rvert$，可以取正整数或无穷。

元素的阶#

设 $G$ 为群，$a \in G$，则称 $a$ 的阶为最小的满足 $a^k=e$ 的正整数 $k$. 如果这样的正整数不存在，则称 $a$ 的阶为无穷。

在不致混淆的情况下，可以将 $a$ 的阶记作 $\lvert a \rvert$.

元素的阶有若干性质：

设 $a \in G$ 的阶为 $d$ 有限，则

1. $a^{-1}$ 的阶为 $d$
2. $a^k$ 的阶为 $d / \gcd(d,k)$，其中 $k\in \mathbb{N}^+$

设 $a,b \in G$ 的阶分别为 $m,n$ 均有限，则

3. 若 $ab=ba$，则
   1. 若 $\gcd(m,n)=1$，即 $m \perp n$，则 $ab$ 的阶为 $mn$
   2. 若 $m \not \perp n$，则 $ab$ 的阶（记为 $k$）满足 $k \mid \mathrm{lcm}(m,n)$，但未必相等
4. 若不保证 $ab=ba$，则 $ab$ 的阶可能为无穷