向量线性相关#
一、向量共线#
充要表述一a , b \boldsymbol a, \boldsymbol b a , b 存在不全为零 的实数 k 1 , k 2 k_1,k_2 k 1 , k 2
k 1 a + k 2 b = 0 k_1\boldsymbol a + k_2 \boldsymbol b = \boldsymbol 0 k 1 a + k 2 b = 0
充要表述二a , b \boldsymbol a, \boldsymbol b a , b λ \lambda λ
a = λ b \boldsymbol a = \lambda \boldsymbol b a = λ b 特别地，当 a ≠ 0 \boldsymbol a \ne \boldsymbol 0 a = 0 b = 0 \boldsymbol b = \boldsymbol0 b = 0 a \boldsymbol a a b \boldsymbol b b
充要表述三a , b \boldsymbol a, \boldsymbol b a , b
a × b = 0 \boldsymbol a \times \boldsymbol b = \boldsymbol0 a × b = 0 二、向量共面#
充要表述一a , b , c \boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c a , b , c 存在不全为零 的实数 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k 1 , k 2 , k 3
k 1 a + k 2 b + k 3 c = 0 k_1\boldsymbol a + k_2 \boldsymbol b + k_3 \boldsymbol c = \boldsymbol 0 k 1 a + k 2 b + k 3 c = 0
充要表述二a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , c = ( x 3 , y 3 , z 3 ) \boldsymbol a=(x_1, y_1, z_1), \boldsymbol b=(x_2, y_2, z_2), \boldsymbol c=(x_3, y_3, z_3) a = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , c = ( x 3 , y 3 , z 3 )
∣ x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 ∣ = 0 \left|
\begin{matrix}
x_1&x_2&x_3\\
y_1&y_2&y_3\\
z_1&z_2&z_3
\end{matrix}
\right|
=0 x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 = 0 可以由 1. 展开分量推得，理解为列空间不满秩，存在线性相关。
充要表述三a , b , c \boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c a , b , c
[ a b c ] = 0 [~\boldsymbol{a ~~~ b ~~~ c}~]=0 [ a b c ] = 0 可以由 2. 推得，也可认为是三个向量张成的平行六面体体积为 0 0 0
三、公式大杂烩#
正交射影#
b \boldsymbol{b} b a \boldsymbol{a} a
正交射影为 ( b ) a = b ⋅ a ∣ ∣ a ∣ ∣ = ∣ ∣ b ∣ ∣ cos θ (\boldsymbol{b})_{\boldsymbol{a}}={\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\over ||\boldsymbol{a}||}=||\boldsymbol{b}||\cos \theta ( b ) a = ∣∣ a ∣∣ b ⋅ a = ∣∣ b ∣∣ cos θ
正交射影向量为 P r o j a b = b ⋅ a ∣ ∣ a ∣ ∣ ⋅ a ∣ ∣ a ∣ ∣ = ∣ ∣ b ∣ ∣ cos θ a ° \displaystyle{\mathrm{Proj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b}={\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\over ||\boldsymbol{a}||}\cdot {\boldsymbol{a}\over||\boldsymbol{a}||}=||\boldsymbol{b}||\cos \theta~\boldsymbol{a}\degree} Proj a b = ∣∣ a ∣∣ b ⋅ a ⋅ ∣∣ a ∣∣ a = ∣∣ b ∣∣ cos θ a °
平行六面体体积#
a , b , c \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} a , b , c
[ a b c ] = det ( [ a b c ] ) [~\boldsymbol{a}~~~\boldsymbol{b}~~~\boldsymbol{c}~]
=
\det(\left[\begin{matrix}
\boldsymbol{a}\\
\boldsymbol{b}\\
\boldsymbol{c}\\
\end{matrix}\right]) [ a b c ] = det ( a b c ) 四、平面的方程#
点法式#
n = ( A , B , C ) \boldsymbol{n}=(A,B,C) n = ( A , B , C ) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P ( x , y , z ) P(x,y,z) P ( x , y , z ) n × P 0 P → = 0 \displaystyle{\boldsymbol{n}\times \overrightarrow{{P_0P}}=0} n × P 0 P = 0
A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 从点法式 可以直接得到平面的一个法向量和平面上的一个点 求解平面方程的方法首选点法式。
一般式#
A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 A x + B y + C z + D = 0 类比二维中直线的一般式 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 A x + B y + C = 0 从一般式 可以直接得到平面的一个法向量 ，任取一些坐标也可以得到上面的点。
截距式#
若平面在 x , y , z x,y,z x , y , z a , b , c a,b,c a , b , c x a + y b + z c = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 a x + b y + c z = 1 0 0 0 x a + y b = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 a x + b y = 1 z z z x x x y y y a , b a,b a , b
参数式#
取平面上两不共线的向量：a = ( L 1 , M 1 , N 1 ) , b = ( L 2 , M 2 , N 2 ) \boldsymbol{a}=(L_1,M_1,N_1),~\boldsymbol{b}=(L_2,M_2,N_2) a = ( L 1 , M 1 , N 1 ) , b = ( L 2 , M 2 , N 2 ) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P = ( x , y , z ) P=(x,y,z) P = ( x , y , z ) ∃ s , t , P 0 P → = s a + t b \exists s,t,~\overrightarrow{P_0P}=s\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b} ∃ s , t , P 0 P = s a + t b
{ x = x 0 + s L 1 + t L 2 , y = y 0 + s M 1 + t M 2 , z = z 0 + s N 1 + t N 2 . ( s , t ∈ R ) \left\{
\begin{aligned}
x&=x_0+sL_1+tL_2~,\\
y&=y_0+sM_1+tM_2~,\\
z&=z_0+sN_1+tN_2~.
\end{aligned}
\right.
\qquad(s,t\in \mathbb R) ⎩ ⎨ ⎧ x y z = x 0 + s L 1 + t L 2 , = y 0 + s M 1 + t M 2 , = z 0 + s N 1 + t N 2 . ( s , t ∈ R ) 参数式应用有限，目前未收集到。
五、直线的方程#
参数式#
与平面不同，直线的参数式信息量丰富且常用。a = ( l , m , n ) \boldsymbol{a}=(l,m,n) a = ( l , m , n ) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_0(x_0,y_0,z_0) P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P P P ∃ t , P 0 P → = t a \exists t,~\overrightarrow{P_0P}=t\boldsymbol{a} ∃ t , P 0 P = t a
{ x = x 0 + t l , y = y 0 + t m , z = z 0 + t n . ( t ∈ R ) \left\{
\begin{aligned}
x&=x_0+tl~,\\
y&=y_0+tm~,\\
z&=z_0+tn~.
\end{aligned}
\right.
\qquad(t\in \mathbb R) ⎩ ⎨ ⎧ x y z = x 0 + tl , = y 0 + t m , = z 0 + t n . ( t ∈ R ) 从参数式可以直接得到直线的方向向量和其经过的一个点 参数式在求解直线与其他几何对象相交问题时较为有用 两直线交点 的时候，可以使两组方程组 x , y , z x,y,z x , y , z t 1 , t 2 t_1,t_2 t 1 , t 2 直线与平面的交点 时，用参数形式表示直线上的点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P ( x , y , z ) t t t Q ( a , b , c ) Q(a,b,c) Q ( a , b , c ) P Q → ⋅ n = 0 \overrightarrow{PQ}\cdot \boldsymbol{n}=0 PQ ⋅ n = 0 n \boldsymbol{n} n P P P
对称式#
将参数式的每个式子中的 t t t
x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n ( = t ) {x-x_0 \over l}={y-y_0 \over m}={z-z_0 \over n}\quad(~=~t~) l x − x 0 = m y − y 0 = n z − z 0 ( = t ) 可以省略 t t t l , m , n l,m,n l , m , n 0 0 0 l = 0 l=0 l = 0 x − x 0 x-x_0 x − x 0 0 0 0 { x = x 0 , y − y 0 m = z − z 0 n . \displaystyle{\left\{\begin{aligned}&x=x_0~,\\&{y-y_0\over m}={z-z_0\over n}~.\end{aligned}\right.} ⎩ ⎨ ⎧ x = x 0 , m y − y 0 = n z − z 0 . 从对称式可以直接得到直线的方向向量和其经过的一个点
一般式#
观察参数式和对称式，发现总可以化为关于 x , y , z x,y,z x , y , z
{ a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 , a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 . \left\{
\begin{aligned}
a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0~,\\
a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0~.\\
\end{aligned}
\right. { a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 , a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 . 实际上代表了两个不平行的平面的交线。
一般式化为参数式/对称式的首选方法：平面相交 n 1 = ( a 1 , b 1 , c 1 ) \boldsymbol{n_1}=(a_1,b_1,c_1) n 1 = ( a 1 , b 1 , c 1 ) n 2 = ( a 2 , b 2 , c 2 ) \boldsymbol{n_2}=(a_2,b_2,c_2) n 2 = ( a 2 , b 2 , c 2 ) a = n 1 × n 2 \boldsymbol{a}=\boldsymbol{n_1}\times \boldsymbol{n_2} a = n 1 × n 2
一般式化为对称式的另类方法：平面系 { x − x 0 l = y − y 0 m , y − y 0 m = z − z 0 n . \displaystyle{\left\{\begin{aligned}{x-x_0 \over l}={y-y_0 \over m}~,\\{y-y_0 \over m}={z-z_0 \over n}~.\end{aligned}\right.} ⎩ ⎨ ⎧ l x − x 0 = m y − y 0 , m y − y 0 = n z − z 0 . z z z x x x x , y x,y x , y y , z y,z y , z z z z x x x
六、几何性质代数化#
位置关系#
以下 a , b , c , d a,b,c,d a , b , c , d
平面平行 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ n 1 / / n 1 \boldsymbol{n_1} \kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern 0.56em \boldsymbol{n_1} n 1 / / n 1 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ n 1 × n 2 = 0 \boldsymbol{n_1}\times \boldsymbol{n_2}=\boldsymbol{0} n 1 × n 2 = 0 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 : b 1 : c 1 = a 1 : b 1 : c 1 a_1:b_1:c_1=a_1:b_1:c_1 a 1 : b 1 : c 1 = a 1 : b 1 : c 1
平面平行而不重合 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 ≠ d 1 d 2 \displaystyle{{a_1\over a_2}={b_1\over b_2}={c_1\over c_2}\ne {d_1\over d_2}} a 2 a 1 = b 2 b 1 = c 2 c 1 = d 2 d 1
平面重合 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2 \displaystyle{{a_1\over a_2}={b_1\over b_2}={c_1\over c_2}={d_1\over d_2}} a 2 a 1 = b 2 b 1 = c 2 c 1 = d 2 d 1
平面垂直 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ n 1 ⊥ n 2 \boldsymbol{n_1} \perp \boldsymbol{n_2} n 1 ⊥ n 2 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ n 1 ⋅ n 2 = 0 \boldsymbol{n_1}\cdot \boldsymbol{n_2}=0 n 1 ⋅ n 2 = 0
直线与平面平行（重合） ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a ⊥ n \boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{n} a ⊥ n
直线与平面垂直 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a / / n \boldsymbol{a} \kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern 0.56em \boldsymbol{n} a / / n
直线与直线垂直 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 ⊥ a 2 \boldsymbol{a_1}\perp \boldsymbol{a_2} a 1 ⊥ a 2
以下 P 1 P_1 P 1 P 2 P_2 P 2
直线与直线异面 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ P 1 P 2 → , a 1 , a 2 \overrightarrow{P_1P_2},\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2} P 1 P 2 , a 1 , a 2 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ [ P 1 P 2 → a 1 a 2 ] ≠ 0 [~\overrightarrow{P_1P_2}~~~\boldsymbol{a_1}~~~\boldsymbol{a_2}~]\ne 0 [ P 1 P 2 a 1 a 2 ] = 0
直线与直线相交与一点 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ P 1 P 2 → , a 1 , a 2 \overrightarrow{P_1P_2},\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2} P 1 P 2 , a 1 , a 2 a 1 / / ∖ a 2 \boldsymbol{a_1} \kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern -0.75em \smallsetminus\kern 0.09em \boldsymbol{a_2} a 1 / / ∖ a 2
直线与直线平行而不重合 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 / / a 2 / / ∖ P 1 P 2 → \boldsymbol{a_1} \kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern 0.56em \boldsymbol{a_2} \kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern -0.75em \smallsetminus\kern 0.09em \overrightarrow{P_1P_2} a 1 / / a 2 / / ∖ P 1 P 2
直线与直线重合 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ a 1 / / a 2 / / P 1 P 2 → \boldsymbol{a_1} \kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern 0.56em \boldsymbol{a_2} \kern 0.56em/\kern -0.8em /\kern 0.56em \overrightarrow{P_1P_2} a 1 / / a 2 / / P 1 P 2
数量关系#
两平面夹角 θ \theta θ cos θ = ∣ cos ( n 1 , n 2 ) ∣ = ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ ∣ ∣ n 1 ∣ ∣ ∣ ∣ n 2 ∣ ∣ \displaystyle{\cos \theta = |\cos(\boldsymbol{n_1}, \boldsymbol{n_2})~|={|\boldsymbol{n_1}\cdot \boldsymbol{n_2}| \over ||\boldsymbol{n_1}||~||\boldsymbol{n_2}||}} cos θ = ∣ cos ( n 1 , n 2 ) ∣ = ∣∣ n 1 ∣∣ ∣∣ n 2 ∣∣ ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣
两直线夹角 θ \theta θ
直线与平面的夹角 φ \varphi φ sin φ = ∣ cos ( a , n ) ∣ = ∣ a ⋅ n ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ n ∣ ∣ \displaystyle{\sin\varphi = |\cos(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{n})~|={|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{n}| \over ||\boldsymbol{a}||~||\boldsymbol{n}||}} sin φ = ∣ cos ( a , n ) ∣ = ∣∣ a ∣∣ ∣∣ n ∣∣ ∣ a ⋅ n ∣
点到平面的距离：给定平面外一点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P ( x , y , z ) Q Q Q P P P P Q → \overrightarrow{PQ} PQ n \boldsymbol{n} n d = ∣ P Q → ⋅ n ° ∣ = ∣ P Q → ⋅ n ∣ ∣ ∣ n ∣ ∣ \displaystyle{d=|\overrightarrow{PQ}\cdot \boldsymbol{n}\degree|={|\overrightarrow{PQ}\cdot \boldsymbol{n}|\over ||\boldsymbol{n}||}} d = ∣ PQ ⋅ n °∣ = ∣∣ n ∣∣ ∣ PQ ⋅ n ∣ d = ∣ A x + B y + C z + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 \displaystyle{d={|Ax+By+Cz+D|\over \sqrt{A^2+B^2+C^2}}} d = A 2 + B 2 + C 2 ∣ A x + B y + C z + D ∣
点到直线的距离：给定直线外一点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P ( x , y , z ) Q Q Q d = ∣ ∣ P Q → ∣ ∣ sin ( P Q → , a ) = ∣ ∣ P Q → × a ∣ ∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ \displaystyle{d=||\overrightarrow{PQ}||\sin(\overrightarrow{PQ},\boldsymbol{a})={||\overrightarrow{PQ}\times \boldsymbol{a}||\over ||\boldsymbol{a}||}} d = ∣∣ PQ ∣∣ sin ( PQ , a ) = ∣∣ a ∣∣ ∣∣ PQ × a ∣∣ P Q → \overrightarrow{PQ} PQ a \boldsymbol{a} a a \boldsymbol{a} a d d d ∣ ∣ P Q → × a ∣ ∣ ||\overrightarrow{PQ}\times \boldsymbol{a}|| ∣∣ PQ × a ∣∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ||\boldsymbol{a}|| ∣∣ a ∣∣
平行线的距离：转化为点到直线距离
异面直线的距离：求两直线公垂线的方向向量 n = a 1 × a 2 \boldsymbol{n}=\boldsymbol{a_1}\times \boldsymbol{a_2} n = a 1 × a 2 P , Q P,Q P , Q d = ∣ n ⋅ P Q → ∣ ∣ ∣ n ∣ ∣ = [ a 1 a 2 P Q → ] ∣ ∣ a 1 × a 2 ∣ ∣ \displaystyle{d={|\boldsymbol{n}\cdot \overrightarrow{PQ}|\over ||\boldsymbol{n}||}}={[~\boldsymbol{a_1}~~~\boldsymbol{a_2}~~~\overrightarrow{PQ}~]\over ||\boldsymbol{a_1}\times\boldsymbol{a_2}||} d = ∣∣ n ∣∣ ∣ n ⋅ PQ ∣ = ∣∣ a 1 × a 2 ∣∣ [ a 1 a 2 PQ ]
平行平面的间距：两平面上各取一点连成向量，向平面的法向量做投影
